Le point focal de Schelling, ou comment se coordonner sans se parler

En théorie des jeux, le « point focal de Schelling » ou « point de Schelling » est la solution que deux joueurs cherchant à se coordonner vont trouver alors qu’ils ne peuvent pas échanger entre eux. Cette notion a été introduite en 1960 par l’économiste américain Thomas Schelling (1921-2016), lauréat du prix Nobel d’économie en 2005. Il a depuis donné lieu à bon nombre d’expérimentations, de recherches et de spéculations touchant une étonnante variété de sujets.

Pour comprendre ce qu’est un « point focal », on peut imaginer une situation où deux personnes échangent au téléphone et décident de se rencontrer le lendemain à Paris. Cette rencontre est importante pour les deux interlocuteurs, qui sont tous les deux disponibles. Mais avant que les deux personnes n’aient pu convenir d’un lieu et d’une heure de rencontre, la communication est coupée et il est impossible de la rétablir. À quelle heure et en quel endroit précis de Paris les deux individus doivent-ils se rendre pour avoir le maximum de chances de s’y retrouver – sachant que chacun des interlocuteurs se pose la même question de son côté ? Quand on soumet ce problème à des gens au hasard, on obtient presque toujours la réponse : « Au pied de la tour Eiffel, à midi. » La façon dont chacun raisonne à partir de ses connaissances et de ce qu’il sait de l’autre avec qui il faut se coordonner suggère le plus souvent, dans les situations de ce type, une solution naturelle unique : c’est le point focal de Schelling.

Une sorte de boucle infinie est en fait nécessaire pour trouver cette « bonne » réponse : un participant ne doit pas seulement se demander « Que ferais-je si j’étais l’autre personne ? », mais « Que ferais-je si j’étais l’autre personne, me demandant ce qu’elle ferait si elle était à ma place, me demandant ce que je ferais si j’étais à sa place, etc. ? »

Pour un grand nombre de situations, la coordination sans échange entre sujets humains est possible, et l’on constate ainsi que l’idée de point focal de Schelling intervient dans une multitude de domaines : négociations commerciales et politiques, gestion des conflits internationaux, dissuasion nucléaire, improvisation musicale… Le livre Focal Points in Negotiation (McMillan, 2019), édité par Rudolph Schuessler et Jan-Willem van der Rijt, est entièrement consacré au sujet. Nous développons ici quelques exemples, qui témoignent de l’étonnante diversité de domaines dans lesquels la notion se révèle utile.

Saillance

Le point focal est parfois très évident. Imaginons par exemple qu’on explique à deux personnes qu’elles peuvent gagner 1 000 euros à se partager, à la condition que chacune d’entre elles indique préalablement une manière de se répartir la somme et que la répartition indiquée par les deux participants soit exactement la même. Il est clair que le partage « 50 %-50 % » constitue un point focal.

Cette situation illustre bien le concept de « saillance ». On parle de saillance quand un point, une forme ou une structure se distingue clairement dans un ensemble de possibilités, à cause de sa position proéminente et donc particulièrement visible au milieu du champ des possibles. Être saillant, c’est retenir l’attention plus que ses voisins, c’est se distinguer. Un point focal est un point saillant de l’ensemble des solutions possibles. Dans l’exemple précédent, le partage 50 %-50 % est naturel, car il est le seul à posséder une symétrie (les deux participants reçoivent la même somme) : cela en fait le partage le moins arbitraire, sur l’ensemble des partages possibles.

Notons que ces notions de point focal et de point saillant dépendent du contexte culturel, et qu’il faut donc que les participants à un tel jeu disposent d’une culture commune. Si l’on demande à deux Français d’indiquer sans se consulter trois couleurs dans un ordre précis en cherchant à faire la même proposition tous les deux, il est très probable que chacun des deux indiquera « bleu, blanc, rouge ». De même, pour deux joueurs italiens, on peut s’attendre à ce qu’ils choisissent « vert, blanc, rouge ». En revanche, dans le cas où l’on poserait cette question à un joueur italien et à un joueur français, aucune solution claire ne semble s’imposer : il n’y a pas de triplet saillant de couleurs dans la culture partagée par les Français et les Italiens.

L’exemple suivant, qui se place dans un cadre de politique internationale, montre à quel point la notion de point focal de Schelling est délicate et dépend de facteurs multiples. Lorsqu’il a fallu fixer un objectif de réchauffement climatique à ne pas dépasser, les accords internationaux de Paris de 2015 ont établi la limite à 2 °C maximum de réchauffement par rapport aux niveaux préindustriels, à maintenir de préférence en dessous de 1,5 °C. Pourquoi précisément 2 °C et 1,5 °C – alors que 1,97 °C et 1,52 °C auraient également pu convenir ? Ce choix correspondait non seulement à un objectif qui semblait alors atteignable, mais il constituait aussi un point saillant, car 1,5 et 2 sont des nombres ronds. Si les humains utilisaient la base 8 pour leur arithmétique au lieu de la base 10, d’autres valeurs apparaîtraient sans doute dans les accords de Paris. De la même façon, lors d’accords internationaux définissant une frontière après un conflit, le choix de la placer le long d’un fleuve ou d’une ligne de crête, qui sont des structures géographiques saillantes, s’impose presque toujours. Cette fois, la notion de point focal est liée à la topographie, et souvent aussi à des questions historiques, culturelles ou religieuses.

La notion de point focal apparaît donc dans des situations variées et importantes, et l’on constate qu’elle dépend de nombreux éléments socioculturels. Tout cela complexifie la formulation d’une théorie mathématique précise et générale : aujourd’hui encore, à part dans quelques cas particuliers, cette notion de point focal de Schelling reste difficile à appréhender en théorie des jeux.

Équilibre de Nash et point de Schelling

Dans un jeu de coordination où deux joueurs disposent de plusieurs options entre lesquelles ils doivent choisir au même instant, on peut représenter dans une matrice numérique ce que gagne chacun en fonction des choix opérés. La notion d’équilibre de Nash, due au mathématicien américain John Nash (1928-2015), lui aussi lauréat du prix Nobel d’économie, est essentielle dans l’analyse de tels jeux. Par définition, un « équilibre de Nash » est un couple de choix pour les deux joueurs tel que chaque joueur ne gagne rien à changer son choix en supposant que l’autre ne change pas le sien. On admet qu’un joueur rationnel devant se décider en connaissant la matrice du jeu ne peut que choisir une stratégie correspondant à un équilibre de Nash – il serait en effet absurde de choisir une option qui ne soit pas la meilleure pour lui en connaissance du choix de l’autre joueur. S’il n’y a qu’un seul équilibre de Nash, deux joueurs rationnels choisiront donc les options associées.

Donnons un exemple. Deux joueurs doivent choisir un nombre entre 1 et 4, et ils gagnent chacun un nombre de points égal à la somme des nombres choisis. La matrice de ce jeu est donnée dans la figure 1 sous la forme d’un tableau.

Matrice des gains du jeu dans lequel deux joueurs ne pouvant pas communiquer doivent chacun choisir un nombre entre 1 et 4, et dans lequel chacun gagne un nombre de points égal à la somme des nombres choisis. Dans ce tableau on indique, pour chaque couple de choix des joueurs, les gains respectifs du joueur 1 et du joueur 2. Il y a un unique équilibre de Nash : quand les deux joueurs choisissent le nombre 4.

© Pour la Science

Si le premier joueur choisit 2 et le second 3, chaque joueur reçoit 5 points. La situation dans laquelle chacun des deux joueurs choisit 4 est un évident équilibre de Nash, car aucun des deux joueurs ne peut améliorer son gain en changeant son choix quand l’autre ne le change pas. C’est le seul équilibre de Nash. La situation dans laquelle le premier joueur choisit 2 et le second 4, par exemple, n’est pas un équilibre de Nash, car si le second joueur ne modifie pas son choix, le premier joueur peut augmenter son gain en changeant son choix pour 3 ou 4.

Il arrive qu’il y ait plusieurs équilibres de Nash. Prenons comme exemple un jeu où deux joueurs doivent, comme précédemment, choisir chacun un nombre entre 1, 2, 3 et 4, et où les joueurs gagnent le nombre de points correspondant au nombre qu’ils ont joué s’ils jouent tous les deux la même chose, et rien sinon. La matrice de ce jeu est donnée dans la figure 2 sous la forme d’un tableau.

Matrice des gains du jeu dans lequel deux joueurs ne pouvant pas communiquer doivent chacun choisir un nombre entre 1 et 4, et dans lequel chacun gagne le nombre de points correspondant au nombre qu’il a joué si les deux joueurs jouent tous les deux la même chose, et rien sinon. Il y a plusieurs équilibres de Nash, mais l’un est meilleur que les autres pour les deux joueurs.

© Pour la Science

Chacun des points (1, 1) (c’est-à-dire quand chacun des joueurs choisit 1), (2, 2), (3, 3) et (4, 4) est un équilibre de Nash – et ce sont les seuls. Pour se coordonner et gagner, les joueurs doivent ici faire intervenir un autre élément dans leurs raisonnements. C’est facile lorsque les équilibres de Nash conduisent à des gains plus ou moins intéressants, car cela désigne clairement à chaque joueur la meilleure option commune. C’est le cas dans notre exemple : les joueurs ont tout intérêt à jouer chacun l’option 4, car cela maximise leurs gains respectifs.

Parfois, cependant, les différents équilibres de Nash sont indiscernables sur la base des seules données présentes dans la matrice des gains du jeu. C’est par exemple le cas si l’on demande encore à deux joueurs de choisir chacun un nombre entier entre 1 et 4, mais si, cette fois, les joueurs gagnent un point chacun s’ils jouent la même chose et rien sinon. La matrice de ce jeu est donnée dans la figure 3 sous la forme d’un tableau.

Matrice des gains du jeu dans lequel deux joueurs ne pouvant pas communiquer doivent chacun choisir un nombre entre 1 et 4, et dans lequel chacun gagne un point si les deux joueurs jouent tous les deux la même chose, et rien sinon. Il y a quatre équilibres de Nash équivalents : il faut faire appel à la notion de point focal de Schelling pour les départager.

© Pour la Science

Pour rechercher de bonnes façons de jouer et s’éloigner d’un pur jeu de hasard, il faut alors invoquer la notion de point focal de Schelling. Quand on fait l’expérience, la majorité des gens choisissent le 1 et une proportion plus petite choisit le 4 : les valeurs extrêmes de la liste sont des points saillants. La saillance de 1 n’étant pas très forte, le risque d’échec de coordination n’est donc pas nul. Notons néanmoins que si les deux joueurs jouent au hasard, ils gagnent statistiquement une fois sur quatre, alors que s’ils hésitent seulement entre le 1 et le 4, ils gagnent statistiquement une fois sur deux.

Schellingcoin et vérité

L’un des domaines dans lesquels la notion de point focal de Schelling intervient de manière centrale est le champ des systèmes informatiques décentralisés. Vitalik Buterin, l’un des créateurs du réseau Ethereum, qui est un concurrent du réseau Bitcoin, a ainsi imaginé une cryptomonnaie qu’il a nommée Schellingcoin, en référence aux points de Schelling. Son système a pour but d’évaluer au mieux la valeur de produits, d’objets, d’œuvres d’art ou de toutes sortes d’actifs financiers. Le principe général des Schellingcoin est relativement simple : pour chaque produit, les opérateurs des différents nœuds du réseau proposent simultanément et sans se consulter une évaluation en fonction de ce qu’ils savent ou pensent. Une fois toutes les réponses reçues, un programme décentralisé installé sur le réseau (on parle de « smart contract » pour ce type de programme) examine les réponses et calcule la médiane des valeurs proposées (c’est-à-dire la valeur telle qu’il y a autant de propositions inférieures à cette valeur que de propositions supérieures). Cette médiane est alors considérée comme la valeur la plus raisonnable à attribuer au produit, et les nœuds ayant proposé une valeur située entre 50 % de la médiane et 150 % de la médiane (ou entre le percentile 25 et le percentile 75) sont récompensés.

D’après Vitalik Buterin, cela constituerait une bonne méthode d’évaluation, car elle force les évaluateurs à être aussi près que possible d’une évaluation plausible : chacun des opérateurs s’efforce de proposer une valeur sérieuse, en prenant en compte non seulement ce qu’il pense, mais aussi ce qu’il pense que les autres nœuds pensent, eux-mêmes raisonnant comme lui, etc. Pour Vitalik Buterin, la valeur d’un produit est donc une sorte de point de Schelling !

Il assure d’ailleurs que : « Les enquêteurs criminels utilisent la méthode Schellingcoin depuis des siècles, en plaçant les personnes arrêtées et soupçonnées d’avoir participé à un crime dans des locaux séparés et en leur demandant à chacune une version des faits sur lesquels ils travaillent. Les enquêteurs s’appuient sur l’idée qu’il est plus facile d’être cohérent avec de nombreuses autres personnes si l’on dit la vérité, et presque impossible de se coordonner sur un mensonge. » En clair, et sous une forme un peu simplifiée, l’idée est que « la vérité est un point focal de Schelling » !

Cette notion apparaît aussi, de manière un peu différente, dans les systèmes de paris sur l’avenir, dont on a beaucoup parlé ces derniers temps – l’exemple le plus emblématique étant sans doute la plateforme Polymarket, malheureusement plus connue pour son exploitation affligeante que pour l’intérêt mathématique qu’elle présente. D’autres exemples connus sont Hypermind ou Kalshi. Ils constituent ce que l’on nomme des « marchés prédictifs » : les joueurs misent des sommes d’argent sur des événements à venir (une élection, un match de football…), et gagnent ou perdent selon qu’ils réussissent ou non à anticiper correctement l’option qui se produit. À ce compte, on pourrait arguer que l’avenir serait une sorte de point focal de Schelling… mais peut-être serait-ce s’éloigner du concept original introduit il y a près de soixante ans.

Points de Schelling visuels

Dans un registre totalement différent, on peut citer un autre domaine où la notion de point focal de Schelling se révèle pertinente : la vision humaine. Dans un papier publié en 2022, Geng Chen, de la Northwestern Polytechnical University, en Chine, et ses collaborateurs montrent en effet que certains points attirent le regard plus particulièrement que d’autres : on les a appelés « points de Schelling ».

On recherche aujourd’hui des techniques pour détecter automatiquement ces points de Schelling visuels. Pour ce faire, dans un travail publié en 2021, Ran Song, alors à l’université de Brighton, en Angleterre, Yonghuai Liu, de l’université Edge Hill, également en Angleterre, et Paul Rosin, de l’université de Cardiff, au pays de Galles, ont présenté des images à divers sujets humains, en demandant à chaque personne de regarder les points particuliers dont elle pense qu’ils seront choisis par les autres sujets soumis à la même question. Pour une même image, ces points sont rarement uniques, mais ils sont très particuliers et assez précis, et il apparaît que les êtres humains répondent les uns et les autres de manière proche .

Points de Schelling visuels.

© D’après Ran Song, Yonghuai Liu et Paul Rosin, Mesh saliency via weakly supervised classification-for-saliency CNN, IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, 2021.

On constate que :

- Les points de Schelling d’une image sont souvent symétriques ;

- Les propriétés de la courbure locale des objets représentés sont utiles pour identifier les points de Schelling les plus forts : pointes, saillies, bords, extrémités, creux profonds, etc. ;

- Les propriétés géométriques globales de la figure considérée, qui déterminent si un point est central ou s’il est sur un axe de symétrie, jouent un rôle important dans la position des points de Schelling d’une image.

Sur la base de ces observations, les chercheurs ont réussi à concevoir des méthodes prédisant assez bien l’emplacement des points de Schelling sur des images nouvelles.

SETI

En changeant à nouveau de domaine, un exemple amusant où la notion de point focal de Schelling semble pouvoir s’avérer utile est la recherche des signaux émis par d’hypothétiques civilisations extraterrestres. C’est ce à quoi s’est intéressé récemment David Gahan, un chercheur indépendant qui dirige une société de consulting en Angleterre.

Le constat de départ est qu’il serait extrêmement coûteux de mettre en place une captation et une analyse systématiques des signaux électromagnétiques en provenance de toutes les directions de l’espace, dans une large gamme de longueurs d’onde, avec une grande précision. On peut en revanche imaginer que d’éventuels extraterrestres désireux de nous transmettre des messages auraient conclu à la nécessité d’émettre ces signaux sur une longueur d’onde « point de Schelling » et à partir d’un « point de Schelling » de l’espace. Ce seraient des points de rendez-vous naturels pour des civilisations incapables de se coordonner en amont. Si de tels points existent, il semblerait raisonnable de concentrer nos efforts de détection dessus !

Pour chercher de tels points, nous devons supposer que ces hypothétiques extraterrestres nous ressemblent un peu, qu’ils disposent de connaissances scientifiques semblables aux nôtres et raisonnent comme nous pour imaginer des points de Schelling. De la sorte, nous devons nous poser la question de ce que nous-même ferions pour maximiser nos chances d’être détectés, si nous devions émettre un tel signal.

Concernant les longueurs d’onde sur lesquelles focaliser nos détecteurs, les astrophysiciens réfléchissent depuis longtemps au sujet, mais aucune conclusion définitive n’a été formulée. Notons qu’il n’est pas nécessaire d’aboutir à une conclusion unique, car se concentrer sur deux, cinq ou dix longueurs d’onde dont on pense qu’elles pourraient avoir été choisies par les émetteurs sera toujours plus efficace que de chercher à scanner l’ensemble des longueurs d’onde accessibles. Dès les débuts des programmes Seti (acronyme de Search for extra-terrestrial intelligence, « recherche d’intelligence extraterrestre »), la majorité des radiotélescopes ont été configurés pour étudier la raie à 1,42 GHz de l’hydrogène, car cet élément omniprésent dans l’Univers peut être considéré comme un point de Schelling. Aujourd’hui, de nouvelles idées sont envisagées, mais cette raie à 1,42 GHz reste privilégiée.

Quant à la recherche de points particuliers de l’espace en direction desquels orienter nos détecteurs, il est raisonnable de se limiter à notre propre galaxie, déjà très étendue. Son centre est un point focal naturel, mais il a l’inconvénient majeur d’être occupé par un trou noir massif depuis lequel aucun signal ne peut nous parvenir. David Gahan a donc proposé un point de Schelling un peu plus compliqué. À proximité de notre galaxie se trouvent deux petites galaxies, les Nuages de Magellan, qui semblent être en orbite autour de la nôtre. Le point médian entre leurs centres respectifs est dans notre galaxie. Il est appelé MiM et apparaît donc comme un lieu géométrique très particulier de notre galaxie. Peut-être peut-on le considérer comme un point de Schelling ? Ce point est facile à déterminer dans l’espace et le temps, et il se trouve dans un « voisinage calme », ce qui renforce son intérêt. David Gahan argue donc qu’écouter avec attention ce qui provient de ce point semble une idée intéressante. Bien sûr, un certain nombre d’autres positions dans notre galaxie peuvent être envisagées, et l’on peut tenter de les classer par ordre de vraisemblance pour orienter de manière pertinente les moyens dont on dispose pour ce type de recherche.

On constate donc que la notion de point de Schelling, relativement simple et très intuitive en théorie des jeux, présente un vaste potentiel d’applications, dans des disciplines extrêmement variées et sans lien apparent. Les quelques exemples cités ici ne sont qu’une petite partie des domaines dans lesquels ce concept intervient aujourd’hui… et qui sait quelles applications verront encore le jour à l’avenir ?

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